Lara Abi Rizk (IMB, Bordeaux), Travelling wave solutions for a non-local evolutionary-epidemic system. [slides]
Résumé : In this talk we study the existence of a travelling wave solutions for a spatially distributed system of equations modelling the evolutionary epidemiology of plant-pathogen interaction. We prove that the wave solutions connects two determined stationary states and have a rather simple structure, provided some parameters condition expressed using the principle eigenvalue of some integral operator.
An important contribution of this work is to overcome a difficulty on the lack of positivity due to the sign-changing of the higher eigenvectors.
This analysis allows us to reduce the infinite-dimensional travelling wave profile system of equations to a 4-dimensional ODE system.
• Mickaël Albertus (Institut de Mathématiques de Toulouse), Processus empirique lié à la méthode du Raking-Ratio. [slides]
Résumé : Je présenterai la méthode du Raking-Ratio étudiée du point de vue de la théorie du processus empirique. J'introduirai cette méthode et les objets statistiques associés. Je présenterai en particulier des résultats d'approximation forte et de convergence en loi.
• Félix Beroud (Institut Camille Jordan, Lyon), Borne inférieure pour un test direct : une heureuse décomposition.
Résumé : En statistique, une borne inférieure est généralement un résultat astreint à un certain modèle d'inférence (estimation, test...) qui nous dit quelle est la meilleure performance qu'on puisse espérer de la part d'une procédure qu'on a construite. Impossible d'estimer au pourcent près la probabilité de tomber sur pile d'une pièce qu'on n'a lancée qu'une seule fois ! Le résultat le plus classique de borne inférieure, c'est le théorème de Cramer-Rao qui est spécifique à la statistique paramétrique; en statistique non paramétrique, on se débrouille plus ou moins au cas par cas. Le modèle qui m'intéresse - le modèle de convolution - est un problème inverse de test, où le but est de tester la densité d'une variable réelle qui a été bruitée par des erreurs iid, qu'on ne connaît pas mais dont on peut estimer la densité à l'aide d'un échantillon annexe. Construire une borne inférieure pour un tel problème promet d'être une épreuve fastidieuse... à moins qu'un truchement miraculeux permette de se ramener à des questions beaucoup plus simples ?
• Yann Cabanes (IMB, Bordeaux), Learning of Pathological Radar Clutter using Non-supervised Classification Methods. [slides]
Résumé : We propose a method to classify radar clutter from radar data using a non-supervised classification algorithm. We explain how the radar data looks, then we construct a metric space in which we will represent the data, and finally we will present a machine learning algorithm to classify the radar data in this metric space.
• Corentin Caillaud (CMAP, Palaiseau), Débruitage d'image par variation totale. [slides]
Résumé : En 1992, Rudin, Osher et Fatemi proposent de résoudre le problème de débruitage d'une image u0 en résolvant argmin (||u-u_0||2/2 + TV(u) où TV désigne la variation totale, ou norme L1 du gradient de u.
Cette méthode, désormais célèbre sous le nom de modèle de ROF, se base sur l'idée qu'une image nette a une variation totale plus petite que sa version bruitée. Cette méthode a l'avantage de restituer les "sauts" de l'image u0 puisque la variation totale d'une fonction u valant 0 d'un côté d'une ligne droite et 1 de l'autre est plus faible que celle d'une version régulière de u où le passage de 0 à 1 s'effectuerait continûment.
Toutefois, dans le cadre discret, le choix le plus simple de discrétisation du gradient de u induit une anistropie de la variation totale discrète. Dans cet exposé nous présenterons une autre discrétisation (basée sur une définition duale de la variation totale avec des éléments finis de type Raviart-Thomas) qui tente de résoudre ce problème.
• Félicien Comtat (Queen Mary University, Londres), Formes automorphes et théorie spectrale. [slides]
Résumé : La théorie des nombres s'intéresse entre autres aux structures discrètes. Une manière de rendre leur étude accessible à l'analyse est de les réaliser comme transformations sur un espace continu et de considérer les invariants de ces transformations. Par exemple, l'étude des fonctions invariantes par un sous-groupe discret de R - c'est-à-dire des fonctions périodiques - permet via le théorème de Plancherel de calculer certaines séries. Dans mon exposé, j'essaierai de donner un aperçu de comment la théorie spectrale sur un groupe algébrique joue plus généralement un rôle dans l'analyse des fonctions invariantes par un sous-groupe discret.
• Pedro Fernandez (Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d'Évry), Solutions faibles d'énergie infinie pour les équations de Navier Stokes. [slides]
Résumé : Les solutions faibles d'énergie infinie ont été introduites par Lemarié-Rieusset en 1999. Cela a permis de montrer l'existence locale de solutions faibles pour une donnée uniformément localement de carré intégrable. D'autres constructions de ces solutions d'énergie infinie à donnée initiale uniformément localement L2 ont été données en 2006 par Basson et en 2007 par Kikuchi et Seregin. Ces solutions ont permis à Jia et Sverak de construire en 2014 des solutions auto-similaires à grandes données régulières (homogènes de degré -1); ce résultat a été étendu en 2016 par Lemarié-Rieusset pour des solutions à données localement L2. Remarquons qu'une donnée homogène de degré -1 et localement L2 est automatiquement uniformément localement L2. En 2018, Bradshaw et Tsai ont considéré le cas des solutions autosimilaires pour un sous-groupe discret de dilatations. Une donnée initiale localement L2 n'est plus nécessairement uniformément localement L2 et leurs résultats ne peuvent plus se baser sur les solutions décrites par Lemarié-Rieusset. Mais on peut attaquer le problème alternativement en considérant des solutions faibles d'énergie infinie pour des données initiales dans de nouveaux espaces.
• Alexis Garcia (Laboratoire Dieudonné, Nice), Géométries de Cartan branchées. [slides]
Résumé : Le but principal de cet exposé est d'introduire la notion de géométrie de Cartan classique, sa version branchée introduite par (S. Dumitrescu et I. Biswas), ainsi que des questions ouvertes qui se posent lorsque l'on cherche à classifier les variétés qui admettent une telle structure géométrique. Cette notion a été introduite par Cartan notamment pour formaliser les notions de connexion affine et de transport parallèle qui apparaissaient dans la théorie de la relativité générale et restreinte.
On commencera par donner des éléments historiques pour faire apparaître la géométrie de Cartan comme une généralisation des notions de géométries qui existaient auparavant, et notamment à travers les notions de transport parallèle et d'espace homogène. On commencera par l'exemple le plus simple à la croisée des différentes géométries : l'espace affine. Cela permettra de donner la définition formelle d'une géométrie de Cartan en reprenant les exemples précédents. Puis on introduira la version branchée de cette structure (dans le cas holomorphe).
On introduira dans la seconde partie deux types de questions générales qui se posent lorsque l'on cherche à classifier les variétés (complexes) admettant ce genre de structure géométrique : une question d'homogénéité (liée aux automorphismes de la structure) et d'autre part l'existence de relations entre les classes caractéristiques de la variété découlant de cette structure dans des cas particuliers.
On présentera donc des résultats plus ou moins récents dans le cas de la notion originale de géométrie de Cartan (non branchée) puis les problèmes qui se posent lorsque l'on tente de généraliser au cas branché.
• Bin Han (Institut Camille Jordan, Lyon), Eulerian polynomials and excedance statistics. [slides]
Résumé : Eulerian polynomials are both descent and excedance polynomials of permutations. Zhuang has recently proved several formulas expressing polynomials counting permutations by various descent statistics in terms of Eulerian polynomials in [Adv. in Appl. Math. 90 (2017) 86-144], which are refinements of Stembrige's formula for peak polynomials. We prove several new formulas expressing polynomials counting permutations by various excedance statistics in terms of Eulerian polynomials, which are analoguous to Zhuang's formulas.
• Slim Kammoun (Laboratoire Paul Painlevé, Lille), Universality for random permutations. [slides]
Résumé : It is known from the work of Baik, Deift and Johansson (1999) that we have the Tracy-Widom fluctuations for the longest increasing subsequence of uniform permutations. We prove that this result holds also in the case of the Ewens distribution and more generally for a class of random permutations with distribution invariant under conjugation. Moreover, we obtain the convergence of the first components of the associated Young tableaux to the Airy Ensemble as well as the global convergence to the Vershik-Kerov-Logan-Shepp shape. The talk will be boxed on the paper "Monotonous subsequences and the descent process of invariant random permutations".
• Octave Lacourte (Université Claude Bernard Lyon 1), Une introduction au groupe IET. [slides]
Résumé : Le groupe des transformations d'échange d'intervalles (IET) est formé
de translations par morceaux du cercle R/Z. Ces
applications ont été introduites par Michael Keane en 1975. L'étude
d'IET a aujourd'hui amené à la construction de groupes qui sont à la
fois infinis, de type fini, simples et moyennables en particulier par
le travail de K. Juschenko, N. Matte Bon, N. Monod, M. de la Salle en
2015).
L'objectif de cet exposé est d'introduire le groupe, de donner une
famille génératrice et d'expliciter son abélianisé. Si le temps le
permet je montrerai que l'on peut trouver des lamplighter à
l'intérieur d'IET (résultat de F. Dahmani, K. Fujiwara, V. Guirardel en
2018).
• Vincent Lerouvillois (Institut Camille Jordan, Lyon), Dynamique d'interfaces aléatoires : limite hydrodynamique et fluctuations. [slides], vidéos : [PNG_1s] [PNG_50s] [PNG_droplet] [PNG_hydro]
Résumé : Dans cet exposé, on s'intéresse à l'évolution temporelle d'une interface séparant deux milieux distincts (comme par exemple la frontière d'une tache de café qui s'étend sur une feuille blanche ou encore la croissance du manteau neigeux provenant du dépôt aléatoire de flocons de neige). L'interface est décrite par une fonction de hauteur qui évolue selon une dynamique aléatoire markovienne. On se pose la question de l'existence d'une loi des grands nombres (ou limite hydrodynamique) pour cette fonction de hauteur ainsi qu'aux fluctuations autour du comportement moyen. Nous considérerons le cas du Polynuclear Growth model (PNG) et son lien avec la plus longue sous-suite croissante d'une permutation aléatoire.
• Paul Melotti (LPSM, Paris), Le modèle à huit sommets en mécanique statistique. [slides]
Résumé : Le modèle à huit sommets est un système d'interaction censé décrire de nombreux comportements physiques, comme des généralisations de modèles de glace ou des particules magnétiques en interaction. L'étude de ce modèle a accompagné les grandes méthodes de la mécanique statistique depuis les années 60 : matrices de transfert, transformations triangle-étoile, fermions libres, etc. J'essaierai de donner un aperçu de ces méthodes et des structures algébriques contenues dans le modèle, en particulier l'apparition de dimères sur des graphes bipartis.
• Clément Moreau (Inria Sophia Antipolis, Nice), Une condition nécessaire de contrôlabilité locale pour une classe particulière de systèmes à deux contrôles. [slides]
Résumé : La contrôlabilité locale d'un système autour d'un de ses points d'équilibre est une notion importante en théorie du contrôle. L'établissement de conditions nécessaires ou suffisantes pour la ``small-time local controllability'' (STLC) a fait l'objet de nombreux travaux au cours des dernières décennies. S'il existe plusieurs conditions suffisantes génériques fortes, la plupart des conditions nécessaires sont plus spécifiques, et portent essentiellement sur des systèmes à contrôle scalaire, comme le résultat classique de Sussmann [1].
Le but de cet exposé est d'étendre cette condition nécessaire à une classe particulière de systèmes à deux contrôles, pour lesquels le champ de vecteurs associé au second contrôle s'annule au point d'équilibre. Dans ce cas, le second contrôle peut rendre le système plus contrôlable en un certain sens, sous une condition de crochets de Lie sur les champs de vecteurs. On prouvera ce résultat à l'aide de la série de Chen-Fliess.
On donnera une illustration de ce résultat sur le système d'équations décrivant la dynamique planaire d'un micro-nageur élastique contrôlé à l'aide d'un champ magnétique [2]. Les équations du mouvement de ce nageur peuvent être écrites comme un système à deux contrôles (les deux composantes du champ magnétique dans le plan du nageur), qui vérifie les hypothèses requises sur les champs de vecteurs. Notre résultat permet de montrer que le nageur n'est pas localement contrôlable au voisinage de sa position d'équilibre avec des contrôles arbitrairement petits.
Références
- [1] Sussmann, H. J. Lie brackets and local controllability: a sufficient condition for scalar-input systems., SIAM Journal on Control and Optimization, 21(5), 686-713, 1983.
- [2] Giraldi, L., Pomet, J. B. Local controllability of the two-link magneto-elastic micro-swimmer., IEEE Transactions on Automatic Control, 62(5), 2512-2518, 2017.
• Léo Morin (Université de Rennes 1), Théorie spectrale d'un opérateur semiclassique. [slides]
Résumé : Cet exposé sera une introduction à une méthode permettant de décrire le spectre d'un opérateur différentiel H dépendant d'un petit paramètre h (dit "paramètre semiclassique") tendant vers 0. L'idée générale consiste à se ramener, par transformations unitaires, à un opérateur qui commute avec des opérateurs bien connus (des oscillateurs harmoniques). Sans rentrer dans les détails, cette "réduction" utilise des techniques d'analyse microlocale, de géométrie symplectique, et de théorie spectrale.
• Antoine Mouzard (IRMAR, Rennes), EDP Stochastiques singulières et modèle parabolique d'Anderson. [slides]
Résumé : L'étude d'EDP stochastiques met en jeu des termes aléatoires de bruit très irréguliers. La résolution de certaines de ces équations demande alors de donner un sens à des objets qui n'en ont pas naturellement, typiquement un produit de distributions. Dans la lignée de la théorie des chemins rugueux de T. Lyons, plusieurs théories ont récemment été développées pour résoudre ces problèmes en séparant l'analyse et les probabilités. Je présenterai celle des distributions paracontrôlées, avec l'exemple du modèle parabolique d'Anderson (PAM).
• Tanessi Quintanar (Institut Camille Jordan, Lyon), Plongements de surfaces à métriques polyédriques et origami. [slides]
Résumé : Une surface (S,g) est polyédrique si tout point admet un voisinage isométrique soit à un disque soit à un voisinage du sommet d'un cône euclidien (non aplati).
En 1996, Burago et Zalgaller ont montré que toute surface polyédrique orientée admet un plongement linéaire par morceaux (PL) et isométrique dans R3. La preuve n'est pas constructive et trouver des plongements isométriques explicites est une tâche délicate. Grâce à un pliage astucieux permettant de courber un cylindre de façon PL, Zalghaller fournit des constructions explicites de plongements isométriques de tores rectangles dit "longs". Dans cet exposé, je vous propose de découvrir comment construire un tore rectangle "court" à travers des pliages origamiques. Cette construction fait apparaître 40 sommets.
Si l'on oublie la contrainte isométrique, il a été montré que 7 sommets suffisent. Pourrait-il exister un tore plat origamique ayant seulement 7 sommets ?
• Cathy Swaenepoel (Institut de Mathématiques de Marseille), Nombres premiers avec des chiffres préassignés. [slides]
Résumé : Bourgain (2015) a estimé le nombre de nombres premiers avec une proportion c>0 de chiffres préassignés en base 2 (c est une constante fixée non précisée). Nous présenterons une généralisation de ce résultat à toute base g supérieure ou égale à 2 et nous donnerons des valeurs explicites pour la proportion c en fonction de g. Notre preuve, qui développe, précise et prolonge les idées de Bourgain, est fondée sur la méthode du cercle et combine des techniques d'analyse harmonique avec des résultats sur les zéros des fonctions L de Dirichlet, notamment une région sans zéro très fine due à Iwaniec.
• Maud Szusterman (IMJ, Paris Rive Gauche), À la recherche de séparations entre les classes de complexité algébrique. [slides]
Résumé : On présentera les classes algébriques VP et VNP, exemples à l'appui. Après avoir relevé quelques séparations connues (petite profondeur, cadre multilinéaire, non commutatif ou monotone) ou conjecturées, on illustrera une méthode dite du rang plein, due à Ran Raz, qui fut utilisée ensuite pour séparer formules et ABPs multilinéaires (Dvir, Malod, Perifel, Yehudayoff).
• Coline Wiatrowski (Institut Camille Jordan, Lyon), Du triangle rectangle aux courbes elliptiques. [slides]
Résumé : Le problème des nombres congruents est un problème millénaire dont l'énoncé est aisé : à quelle condition un entier est-il l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés sont rationnels ? Si ce problème est ancien, il en existe une formulation qui nécessite l'introduction d'objets modernes passionnants : les courbes elliptiques. On verra comment ce problème est lié à la célèbre conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, qui, à défaut d'être millénaire, a l'honneur de faire partie des sept problèmes du millénaire...
